多速率信号处理-插值和插值滤波器

插值意味着提高采样率，故而被称为上采样（Up Sample）。设原始序列为x(n)x(n)x(n)，采样率为fxf_xfx​，插值因子为LLL，则插值的过程为原始序列每相邻两个样点之间插入L−1L-1L−1个000构成一个新序列，数学表达式为

Copyy(m)={x(m/L)m=0,±L,±2L,⋯0其他y(m)=\begin{cases}x(m/L)&m=0,\pm L,\pm2L,\cdots\\0&\text{其他}\end{cases}y(m)={x(m/L)0​m=0,±L,±2L,⋯其他​

以 $f_y$ 表示 $y (m)$ 的采样率，则采样率之间的关系为

Copyfy=L×fxf_y=L\times f_xfy​=L×fx​

图示如下：

从频域角度看， 原始序列的频谱以fxf_xfx​为周期做周期延拓。

插值后的新序列以新的采样率fyf_yfy​做周期延拓。

可以看到插值前后频谱成分不变，但是在fxf_xfx​的整数倍频点处的频谱称为镜像成分。所以插值后要加入一个低通滤波器滤除镜频。典型的插值器就是由上采样器和抗镜像滤波器共同完成的。

由于插值是在原始序列中插入零值，即某些采样点处的信号幅度为000，会改变信号的幅度，因此插值会造成信号幅度的损失。要保证插值前后信号幅度的统一，可在插值滤波器后设置一个增益因子LLL。